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Was macht eigentlich ein Problem aus ? Betrachten wir einmal folgende Denksportaufgabe, die unter dem Namen Turm von Hanoi recht bekannt ist: Gegeben sind drei Stangen, auf die man eine Anzahl verschieden großer Scheiben stecken kann. Diejenigen Versionen, die man in Spielzeug- oder Holzläden kaufen kann, enthalten meist 5 bis 7 Stangen. Wir gehen der Einfachheit halber einmal von 3 Scheiben aus. Diese Scheiben sind auf der ersten Stange der Größe nach geordnet aufgeschichtet. Ziel ist es, die „Scheibenpyramide“ auf die gleiche Art und Weise auf der dritten (in der untenstehenden Abbildung rechten) Stange zu errichten. Dabei darf aber nur eine Scheibe auf einmal bewegt werden; diese Scheibe muss die jeweils oberste auf ihrer Stange sein und keine größere Scheibe darf auf einer kleineren Scheibe zu liegen kommen. Weil wir nur drei Scheiben betrachten und Sie nicht völlig unterfordern wollen, fügen wir noch eine zusätzliche Bedingung ein: Sie haben lediglich sieben Züge, bis die rechte Pyramide stehen sollte:

Versuchen Sie doch bitte kurz einmal, das Problem (in sieben Zügen) zu lösen. Ist es überhaupt in sieben Zügen zu schaffen ?

Haben Sie es geschafft ? Bravo ! Kehren wir nun zurück zu der Ausgangsfrage, was eigentlich formal ein Problem ausmacht: Zunächst finden wir einen Anfangszustand vor (die linke Seite der obigen Abbildung). Und wir haben ein Ziel, also einen erwünschten Endzustand: „Bringe die Pyramide nach rechts !“ Schließlich kennen wir die zulässigen Möglichkeiten, die Scheibenkonfiguration zu manipulieren (nur eine Scheibe gleichzeitig, keine größere auf einer kleineren etc.), also alle sog. Operatoren.

Und das wichtigste: Wir wissen nicht auf Anhieb wie wir den Zielzustand erreichen sollen. Wenn wir dies im Voraus wissen würden, dann würde es sich um kein Problem, sondern lediglich um eine Aufgabe handeln.

Was uns noch fehlt zur vollständigen Beschreibung des Problems ist, dass es noch andere mögliche Problemzustände außer dem Anfangs- und dem Endzustand gibt, z.B. alle Zwischenzustände auf dem Weg zu unserer Lösung.

Prinzipiell kann für nahezu alle Probleme ausgehend von Ausgangszustand dargestellt werden, welche Operatoren man anwenden kann, welche Problemzustände dann jeweils daraus resultieren, und welche Operatoren man, wenn überhaupt, dann wieder anwenden kann etc.

Eine solche Darstellung nennt man Problemraum. Für manche Probleme paßt diese Darstellung locker auf eine Website:

In der obigen Abbildung des Problemraumes haben wir auch gleich den richtigen Lösungsweg markiert und Sie können erkennen: Der kürzeste Weg vom Anfangs- zum Zielzustand ist genau sieben Züge lang und es gibt nur einen Weg dieser Länge.

Der Weg zur Lösung aller einigermaßen komplexen Probleme führt also mindestens über zwei Schritte: Zuerst einmal müssen Sie die Problemlage näher betrachten (Problemanalyse). Vielleicht haben Sie ja nicht alle möglichen Operatoren parat, oder sie müssen sich erst einmal klar werden, um was es im Prinzip geht (also evtl. den Anfangs- oder den Zielzustand genauer präzisieren). Danach versucht man, sich eine Strategie zurechtzulegen, nach der man die verfügbaren Operatoren sinnvoll und in der geeigneten Reihenfolge einsetzt. In unserem Turm von Hanoi – Problem könnte diese Strategie so aussehen, dass man durch die Problemanalyse zu dem Schluß gekommen ist, dass es günstig wäre, die dritte Scheibe frei liegen zu haben, damit Sie nach rechts bewegt werden kann. Auf der Stange ganz rechts sollte dann aber keine andere Scheibe liegen, weil man dann die große Scheibe nicht dorthin platzieren darf. Folglich sieht die einzig mögliche Konfiguration, die dies ermöglicht, so aus:

Nun kann man sich schließlich noch überlegen, dass, um diesen Zustand zu erreichen, die kleinste Scheibe zunächst ganz nach links, danach die mittlere Scheibe auf die Stange in der Mitte und schließlich die kleine Scheibe auch auf die mittlere Stange zu stecken.

Mehr an strategischer Überlegung ist für unser kleines Beispielproblem nicht nötig.

Nun wissen wir, dass alle Probleme einen Anfangszustand und einen Endzustand besitzen, sowie eine genügend große Auswahl an Operatoren. Zusätzlich weiß man nicht von vorneherein, wie man vom Anfangszustand zum Endzustand gelangen soll. Bei einem richtigen Problem ist man sich überdies sogar gar nicht sicher, ob man überhaupt imstande ist, es zu lösen (waren Sie sich auf Anhieb sicher, dass Sie es in sieben Zügen schaffen ?).

Zwei andere interessante Problemmerkmale würden wir Ihnen noch gerne näherbringen:

Zum einen macht es einen Unterschied, ob ein Problem reversible Operatoren hat oder nicht. Ein Operator ist dann reversibel, wenn es einen anderen Operator gibt, der seine Wirkung aufhebt. Bei unserem „Turm von Hanoi-Problem“ sind alle Operatoren reversibel, deshalb sind zwischen allen Problemzuständen im Problemraum Doppelpfeile eingezeichnet.

Die meisten Probleme – auch die meisten Entscheidungen, die wir im Alltag treffen müssen aus unserem Alltag – sind aber nicht reversibel. Bei einer Schachpartie können wir den/die letzte(n) Züge nicht zurücknehmen, und wenn wir uns entschieden haben, ein Müsli statt einem Honigbrot zum Frühstück zu nehmen ist nach der Mahlzeit auch kein Umentscheiden mehr möglich.

Bleiben wir noch kurz beim Beispiel des Schachspiels: Die Operatoren, die uns bei einem Schachspiel zur Verfügung stehen, sind zwar nicht reversibel, aber die Problemzustände selbst sind nichtdynamisch. Ein Problem ist dann dynamisch, wenn sich sein augenblicklicher Problemzustand auch dann ändert, wenn kein Operator angewendet wird. Ob ich beim Schach 10 Sekunden oder 20 Minuten Überlegungszeit für den nächsten Zug brauche ändert die augenblickliche Spielsituation kein bißchen. Wenn wir die Frühstückssituation noch einmal betrachten: Sie ist sicherlich dynamisch, da, wenn wir 20 Minuten überlegen, was wir nun essen, keine Zeit für die Mahlzeit mehr haben und ohne Frühstück aus dem Haus müssen. Oder: Je länger und gründlicher man überlegt, wo man seinen Sommerurlaub verbringen möchte, desto wahrscheinlicher ist es, dass das anvisierte Urlaubsziel bereits ausgebucht ist. Und die gewünschte Alternative gar nicht mehr zur Verfügung steht. Und dies sind noch harmlose Beispiele, denkt man etwa an Themen die globale Klimaerwärmung oder den Umweltschutz.

In der untenstehenden Abbildung sind nun alle Übungen in X-Cog, die dem Bereich Problemlösen zugeordnet wurden, aufgeführt. Wie man erkennen kann gibt es dynamische und nichtdynamische, sowie reversible und nicht reversible Übungen in allen Kombinationen. Zusätzlich haben wir noch markiert, ob der Schwerpunkt der betreffenden Übung eher im Bereich der Problemanalyse liegt, oder ob es primär das Problem ist, die geeignete Strategie zu finden.

Bei Zauberparkett handelt es sich im Prinzip um eine Matrixaufgabe, wie sie diese aus Denksportaufgabensammlungen oder Intelligenztests vermutlich bereits kennen. In einer 3 mal 3 – Matrix sind verschiedene Elemente logisch angeordnet. Ein Element fehlt und muss ergänzt werden. Der Schwerpunkt liegt dabei eindeutig in der logischen Analyse der Matrixkonfiguration. Da im Prinzip beliebig Zeit bleibt, sich für das fehlende Element zu entscheiden, ist die Aufgabe nichtdynamisch. Allerdings kann eine einmal getroffene Entscheidung nicht mehr rückgängig gemacht werden, Zauberparkett ist also nicht reversibel.

Bei Labyrinth und Brückenbauer können die einzelnen Operatoren beliebig zurückgenommen werden (falsch eingeschlagene Wege können wieder zurückgegangen und ungeeignet gesetzte Octagons wieder zurückgelegt werden). Bei Labyrinth steht dabei mehr das Herausfinden und im Gedächtnis behalten des richtigen Weges im Vordergrund, während Brückenbauer eindeutig strategiebasiert ist: Wenn man sich kein System zurechtlegt, nach dem man die einzelnen möglichen Kombinationen von Achtecken systematisch ausprobiert, hat man in den höheren Schwierigkeitsstufen kaum eine Chance, eine Brücke über den Fluß zu bekommen.

Bonbonfabrik ist ebenfalls reversibel (jede Farbänderung kann durch Klick auf den gegenüberliegenden Schalter wieder zurückgenommen werden). Allerdings ändert sich in einigen Schwierigkeitsstufen die Teigfarbe von Zeit zu Zeit auch dann, wenn nichts unternommen wird, deshalb ist Bonbonfabrik zumindest partiell dynamisch. Da dem Spieler die Effekte der einzelnen Schalter auf die Teigfarbe nicht bekannt sind, müssen diese zunächst durch systematisches Probieren herausgefunden werden. Später muss dieses Wissen dazu angewendet werden, sich schrittweise der richtigen Farbe zu nähern. Diese Übung stellt damit zu etwa gleichen Teilen analytische und strategische Anforderungen.

Tresor ist eine strategische Übung, da die Kometen im Gitter stets so angeordnet werden müssen, dass die Chance, den nächsten Kometen in einem Zielfeld zu platzieren, maximiert wird. Einmal getroffene Entscheidungen (Platzierungen einzelner Kometen im Gitter) können nicht zurückgenommen werden und es steht sehr wenig Zeit zur Verfügung um sich zu entscheiden, an welche Position der nächste Komet im Gitter gesetzt wird. Tresor ist somit nichtreversibel und dynamisch.